Merci beaucoup pour vos avis.
Je suis passé chez mon mécano cet aprem et donc il pense comme vous pour le thermostat. J'irai le remplacer dans les prochaines semaines.
Une personne du forum (JP) m'a envoyé les références des pièces comme ça je passe commande chez BMW.
Sur ce plan, c'est la pièce 13 et 15:

Sur ce plan, il y a un autre thermostat c'est la pièce 5. (Thermostat avec adaptateur) Qu'elle est sont rôle
http://bmwfans.info/parts/catalog/E39/S ... mostat/#11 71 2 247 723
En ce qui concerne les tremblements que fait la voiture à l'arrêt, mon mécano a dit que c'est le support de la boite de vitesse. Fort possible car ce support n'a jamais été changé et les supports moteur sont encore très correct. Il m'a aussi appris qu'il faut éviter de rester en mode D lors d'un feu rouge ou des bouchons par exemple car le convertisseur est toujours en action ce qui fait que le support encaisse tout. Depuis que j'ai cette voiture, j'ai jamais mis le mode N lors de grand arrêt.

A tout les possesseurs de bva, prenez-en note.
Si je me trompe pas, le support de transmission c'est ça:
http://bmwfans.info/parts/catalog/E39/S ... ension/#22 32 1 096 106