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Alors...
D'après le premier défaut, le problème peut venir de :
Fuite d'air entre turbo et le collecteur d'admission (grosse durite, tu as dit avoir vérifié...);
Tout le circuit d'air avant le turbocompresseur (arrivée d'air, filtre air etc...)
Problème sur l'actionneurs du turbo (me semble que le tien est piloté électriquement) ;
Dysfonctionnement du capteur de pression du collecteur d'admission ;
et enfin contre-pression excessive dans le système d’échappement.

Et le second défaut = FAP bouché...ce qui colle avec la dernière possibilité ci dessus

Donc je dirai que ton FAP est surement bouché...
Questions:
Est ce que le liquide de refroidissement (LdR) monte bien en température ? (à vérifier via le menu caché - cf ci dessous)

A mon avis, un ou les 2 thermostats d'eau sont HS (et si le LdR) ne monte pas à plus de 75°C alors pas de régénération du FAP
Ces thermostats étant mécanique, pas de défaut...jusqu'à ce que le FAP soit bouché...ce qui entraine une perte de puissance

Donc 1/ vérifie ta température de LDR (elle doit monter au moins à 80°)
tuto ici acces-au-menu-cache-de-l-odb-t23651.html
Reviens nous dire ce que ça donne

2/ du jeu dans le turbo...axial c'est pas très grave si limité
mais latéral, la c'est moins glorieux... ça peut être la contre pression excessive qui l'a endommagé
Combien de borne ton E60 ?

Ok merci pour ton avis sur ma panne, je regarde ça et reviens vers vous donner une réponse.

Ma voiture à 190 000 km et voici en photo ce que j’ai trouvé.

Ok, mais ce qu'il faut faire c'est roulé et voir jusqu'à combien monte la température...

Je vais remonter demain soir après le boulot tous ce que j’avais démonté et je ferais un essai.

Ok, super
Si jamais la température LDR ne monte pas assez, alors il faudra changer le thermostat d'eau.
Il me semble que sur ton modeur (520D 170Ch E60 LCI) il n'y en a qu'un

https://www.auto-doc.fr/febi-bilstein/7695888

ça ce trouve du côté du radiateur et je suppose qu'il faudra que je le vidanger?

Sous la vanne EGR visiblement.
Pas obligatoire de vidanger le LDR, mais à minima, il faudra faire l'appoint.
Après, vu ce que coute du LDR, c'est préférable d'en profiter pour le changer complétement...

Voici le résultat pendant 10 minutes moteur tournant,avec accélérations à 3000 tours.

La température évoquée c est en roulant pendant 10-15 min, pas à l arrêt